透过公式 寻知识本源 赏一番独特风景

透过公式  寻知识本源  赏一番独特风景

南京市百家湖小学  焦欢欢

有幸参加现代与经典活动,聆听俞正强老师执教的《植树问题》，对植树问题谈谈自己浅薄的看法。

俞老师这节课，从两个问题入手，第一个问题是20米，5米分一段，共分多少段？学生得出20÷5=4，追问学生为什么用除法，指出是按照5米，5米……，是等分事情。

接着呈现第二个问题，20米，5米种一棵，一共种多少棵。学生回答20÷5+1.提问这是什么问题，学生发现这也是等分问题。俞老师让学生比较这两道题目的相同地方在哪里，学生有的指出都是20米，有的指出都是除以5，俞老师再次点播，都是5米一分，5米一分，学生很快发现这两题都是等分问题，于是给孩子建立了一个上位概念，即这两道题目都是等分问题。

俞老师继续提问：“这两题不同的地方在哪里？”有的学生从算式一眼看出：“一个加1，一个不加1.”有的学生从问题比较：“一个是求多少棵，一个是求多少段。”俞老师接着这个孩子的话提问：“一个是5米5米等分，分成4段，一个是种树，种树种在哪里？”学生联系段，想到了点：“种在点上。”俞老师继续追问：“点和段之间有什么关系呢？ 1段几个点，2段几个点，3段几个点……?”学生跟着俞老师的思路很快发现点数总是比段数多1个。

俞老师总结两题共同之处都是等分问题，差别一个是段的问题，一个是点的问题，强化孩子对两题问题的比较。在建立点的问题上，俞老师把种在点上的模型不断扩大延伸：“除了把树种在点上，还有什么人干什么事情也是种在点上的呢？”一个学生举手说“路灯”，这个时候孩子的思路打开了，有的孩子说出很多斑马线、菜、花、旗子。种在点上的模型不断扩充，由一种问题变成一类问题。

在种树问题中，还会遇到一头有房，两头有房情况，俞老师不提倡让孩子记忆公式，而是从知识的源头去理解。他继续刚才20米，5米种一棵，假设一个小组这样去植树，却发现一头有房子，这种情况可以种多少棵，他带着孩子列出20÷5+1－1，并让孩子理解20÷5+1是本来一共有多少棵，减1是因为一头有房的实际情况，他并没有让孩子靠记忆公示得出20÷5.接下来继续这个问题，20米，5米种一棵，只不过现在发现两头都有房子，解决这个问题还是从原先种在点上模型出发，求出本来理想状况下是20÷5+1，只不过实际情况两头有房，因此列出算式20÷5+1—2，而不要求学生直接列出20÷5—1.这是尊重知识发生的过程，找到知识的源头。并且通过这两个问题，让学生对点的这一类问题认识加深，产生两个特殊分支，即点的问题包括两个特殊情况，一种是一头有房，一种是两头有房。学生的认知结构是按照组块，按照类别存储。

最后他将第一个问题“20米，5米分一段，共分多少段？”改变成“20米，5米分一段，共分多少次？”在学生辨析段和点的问题后，将段的问题转化到点的问题上，并归类到点的问题中的特殊情况，即两头有房的情况。

植树问题看起来复杂变化多端，实质上只是一类问题，种在点上的问题，只不过再由这类问题产生出一些特殊情况，点和段的问题实质就是在学生头脑中建立相应模型，遇到没有见过或者是看起来负责的问题，学生只要循着头脑中知识的结构去寻找相应的模型，对问题进行转化，再难的问题都可以迎刃而解。因此我们教师不妨试着让学生透过公式，看知识的本源，也许会有一番独特的风景。

让学生经历从现实生活到数学的提炼过程

南京市百家湖小学  焦欢欢

10月24日下午，参加现代与经典活动，有幸听了黄爱华老师的《方程的意义》，收益颇多

他指出：“方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程。方程思想的核心在于建模和化归。让学生接触现实的问题，学生建模，学习把日常生活中的自己语言等价地转化为数学语言，到方程，进而解决有关问题。

因此他的练习设计无一不体现方程思想的核心。他设计了以下6个练习。

第一个是天平左边一个苹果和50克砝码，右边是100克砝码，天平平衡，得出x+50=100

第二题，天平左边变为两个苹果，未知数变为2x,天平右边变成两个砝码，天平依旧平衡，2x=100+20

第三题，左边是四个虾子，右边是一个200克的螃蟹，天平平衡，可是这个时候没有出现未知数，学生为了解决当前问题，产生用x表达的需要，设一只虾子为x根据平衡关系，列出算式4x=200

第四题，仍然没有设未知数，并且天平的右边由一个物体质量变为两个物体质量，学生列出算式3x=1800+1800

第五题，这个时候不再出现数学上的天平，而是呈现语言描述，是学生现实生活中遇到的问题，“4块月饼的质量一共是380克”，追问：“哪个字相当于天平？让学生自己想象天平，根据语言描述头脑里建立模型。让学生去找平衡关系，让学生经历从现实生活到数学的一个提炼过程，发现“是”这个字将等价的两件事联立起来,得出方程4x=380

第六题，也是生活中遇到的现实问题：“一个茶壶的水刚好倒满2个热水瓶和一个茶杯，并告诉热水壶是2000毫升，茶杯是200毫升，学生再次将现实问题提炼为方程问题，2x+200=2000.

纵观这六道练习题，每一题都有目的，并且层层递进，从设未知数到没有设未知数独立让学生自己设未知数，从有直观的天平平衡到没有天平只有文字表述让学生自己去找出平衡关系，从直观就可以建立模型到文字更抽象地提炼数学模型。这样层层递进，让学生不断地经历从现实问题到数学问题的提炼过程，真正体现方程思想的核心在于建模和化归。

 

           浅谈听强震球执教《认识分数》之感

南京市百家湖小学  焦欢欢

参加“现代与经典”活动，强震球老师的《认识分数》这节课，有很多亮点让我记忆深刻。

一．    让孩子产生分数表达的需要

强老师用分饼的情境，有四个猴子家庭分大饼，每个家庭将一块饼分别分给2只、3只、4只、5只小猴。强老师提问：“第一个家庭的每个猴子分到其中的多少？”孩子看着直观图，说出“半个”，强老师继续引导，孩子分别用“小半个”“小小半个”“小小小半个”来表示接下来家庭中每个猴子分到的数量，这都是孩子原生态的表达，这个时候，强老师从儿童的语言出发，追问：“我们这样表示，好像有点不妥，一个小字还不能少，不妥在哪呢？”学生很快会发现，这样说太麻烦，太啰嗦了。于是学生产生了一种新的表达的需要，能不能用更简单的表达方式呢？强老师在学生产生需要的基础上再次启发：“从数学角度，能不能把这样的1份表达的更简单清楚呢？”于是很自然而且在学生产生表达需要的基础上引入分数的学习。

二、在变化中加深对分数含义的理解

在介绍三分之一的读法写法之后，相应由扶到放地写出四分之一和五分之一。在学生写完五分之一之后，强老师问：“你们有没有什么问题问问他？”这实质上是在培养学生的问题意识，有一个学生问：“为什么读五分之一？”强老师指出：“这个问题不用回答，因为是5份中的一份，如果换个角度问，为什么用五分之一表示会更好。”这就是给学生提问提出启发，尝试换个角度，同时通过提问又将学生的注意力集中到接下来的问题，于是开始思考五分之的含义，把1平均分成5份，取其中的一份，强老师并没有让学生停止，而是继续追问，把1平均分成7份呢？20份呢？100份呢？学生在变化的问题中加深对分数含义的理解，把握分数的本质。

三、巧妙凸显“谁的几分之一”

强老师出示：有两个家庭，分别有1块大饼，且两个家庭都有3只小猴，这两家的两只小猴吃得一样多吗？

学生第一反应是两只猴子都吃三分之一，所以一样多，强老师等待片刻，有的学生发现有些不对劲，最终有的学生认识到，如果两块大饼不一样，即使是三分之一，吃到的每一份也不同。

强老师最后将两块大饼展示出来，果然差距很大，学生有很直观的视觉刺激，强老师追问：“现在怎么吃的又不一样了？”学生进一步加深体验，即使是相同的三分之一，每块大饼不一样，每一份也不同。强老师指出：“看来谁的三分之一很重要”

于是，强老师将学生认知注意点集中在谁的几分之一，通过练习，着重让学生经历找谁的几分之一，让找谁的几分之一成为学生头脑中的一种意识，这也是为后面高年级经常出现找“单位1”做准备。

四、在动手直观中比较分数的大小

让学生用同样大小的正方形纸片折一折、涂一涂二分之一和四分之一。在这二分之一时，有对边折，也有对角折，都是折一次，学生边折教师边引导：“对折一次就是把它平均分成几份？哪一份是二分之一？”教师再继续引导，对折两次就是平均分成4份，强老师追问学生：“怎么折就是四分之一？”引导学生发现无论对边还是对角，这了两次就是把正方形纸平均分成4份，取其中一份。在学生涂色的基础上，判断二分之一和四分之一的大小，并说理由。学生结合动手操作和涂色直观判断出二分之一大，因为平均分的份数少，所以二分之一涂色部分要比四分之一涂色部分少。

在比较完二分之一和四分之一后，强老师并没有停止，而是继续提问：“能折八分之一吗？别折，在脑海里想一想。”强老师注重孩子直观体验，但也注重学生思维操作，让学生在头脑中想，学生的头脑认知中一定会出现对着三次想法，这个想法就是压缩化的思维，学生能思维感知八分之一分的份数多，这个时候强老师又继续比较十分之一，在学生比较完后，再一次升华学生的认知：“明明10比8、6、4、2大，怎么现在就变成二分之一大于四分之一……?”学生通过动手操作，动脑思维，体验到：“同样一个数，平均分的份数越多，每份越小。